Lecture 3 - Extensions of Poisson Process¶
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Syllabus
- 非时齐Poisson过程
- 复合Poisson过程
- 条件Poisson过程
非时齐 Poisson 过程¶
本小节放松平稳增量这一条件，也就是说过程的速率会依赖于时间，下面给出非时齐 Poisson 过程的定义
Defnition 3.1 (非时齐 Poisson 过程)
若计数过程\(\{N(t),t\geq0\}\)满足：
(1) \(N( 0) = 0;\)
(2)具有独立增量；
(3) \(P\{ N( t+ h) - N( t) = 1\} = \lambda ( t) h+ o( h)\), \(\lambda ( t) , t\geq 0\)为连续函数
(4) \(P\{ N( t+ h) - N( t) \geq 2\} = o( h)\)
则称为具有强度函数\(\lambda(t)\)的非时齐(Nonhomogeneous)Poisson过程 。
与标准Poisson 过程一样，我们接下来考察\(N(t)\)的分布。
Proposition 3.2
设\(\{N(t),t\geq0\}\)为一个非时齐Poisson过程，记
\[m(t)=\int_0^t\lambda(s)ds\]
在区间\([t+s]\)中的事件数\(N(t+s)-N(t)\)服从均值为\(m(t+s)-m(t)=\int_t^{t+s}\lambda(y)dy\)的Poisson分布，即
\[P(N(t+s)-N(s)=n)=\exp\{-[m(t+s)-m(s)]\}\frac{[m(t+s)-m(s)]^n}{n!}.\]
Proof.
与定理2.5的证明想法类似。对给定的\(t\),定义：
\[P_n(s)\triangleq P\{N(t+s)-N(t)=n\}\]
则有
\[ \begin{aligned} P_{0}(s+h)=P\{N(t+s+h)-N(t)=0\}&=P\left\{(t,t+s)中有0个事件(t+s,t+s+h)中有0个事件\right\} \\ &=P\left\{(t,t+s)中有0个事件\right\}P\left\{(t+s,t+s+h)中有0个事件\right\}\\ &=P_0(s)[1-\lambda(t+s)h+o(h)], \end{aligned} \]
因此
\[\frac{P_0(s+h)-P_0(s)}h=-\lambda(t+s)P_0(s)+\frac{o(h)}h.\]
令\(h\to0\),得到微分方程
\[P_0'(s)=-\lambda(t+s)P_0(s)\]