跳转至

预备知识(数学分析)

约 624 个字 1 张图片 预计阅读时间 2 分钟

小鞠浴衣

实数、集合和函数

实数

“数学分析”的研究对象是实函数(Real Valued Functions)，即自变量和函数值均为实数的函数（南开大学的数学分析课本将关于实数的定义和实数理论的更严格证明留待第六章）

主要强调两点：
1. 数轴（今后经常将实数轴上的点和实数等同起来，不加区分）
2. 稠密性(density) 有理数和无理数在实数中稠密，也就是说任何两个不同的实数之间一定存在一个有理数（无理数）

关于稠密性也可以采用下列的方法来理解（以有理数为例）

Density of Rational Number
1.\(\forall a,b \in \mathbb{R},if\ a<b,\exists r \in \mathbb{Q},s.t.a<r<b\)
2.\(\forall a\in \mathbb{R},\epsilon>0,\exists r\in \mathbb{Q},s.t.|a-r|<\epsilon\)

集合

几个数集\(\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{Z},\mathbb{N},\mathbb{N}^*\)

还有一种常见的数集是区间（Interval），与之相关的还有一个重要的概念是邻域，我们将开区间\((x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)\) 为\(x_{0}\)的邻域，记为\(B_{\delta}(x_{0})\) ,若要去掉\(x_{0}\)自身，则称为\(x_{0}\)的空心邻域，记为\(\mathring{B}_{\delta}(x_{0})\)

最大最小值的记号：\(max ; min\) ,max是maximum的缩写，min是minimum的缩写

上界和下界的定义

差集的概念和记号

Definition difference

\[ x\in A\setminus B \iff x\in A\ but\ x\notin B \]

函数

  1. 单射：\(\forall x_{1},x_{2}\in X,x_{1}\neq x_{2},f(x_{1})\neq f(x_{2})\)
  2. 单调函数
  3. 奇函数和偶函数
  4. 周期函数
  5. 有界函数与无界函数
  6. 反函数（需要用到一一对应的概念）
  7. 复合函数

初等函数

  1. 常数函数
  2. 幂函数
  3. 指数函数
  4. 对数函数
  5. 三角函数
  6. 反三角函数

分情形定义的函数

以下是常见的一些分情形定义的函数的例子，常常用于构造命题的反例

Example 1 绝对值函数

\[ f(x)=|x|=\left\{ \begin{matrix} & -x, & x<0 \\ & x, & x\ge 0 \end{matrix} \right. \]

Example 2 符号函数

\[ sgn\ x=\left\{ \begin{matrix} & -1, & x<0 \\ & 0, & x=0 \\ & 1, & x>0 \end{matrix} \right. \]

Example 3 取整函数（高斯函数）

\[ f(x)=[x]=n,n\le x<n+1 \]

Example 4 特征函数（示性函数）

\[ \chi _{A}(x)=\left\{ \begin{matrix} & 1, & x\in A \\ & 0, & x\not\in A \\ \end{matrix} \right. \]

函数\(\chi_{A}(x)\)称为数集A的特征函数

Example 5 Dirichllet函数
在特征函数\(\chi_{A}(x)\)中，令\(A=\mathbb{Q}\)
$$
D(x)=\chi_{Q}(x)=\left{
\begin{matrix}
& 1, & x\in \mathbb{Q} \
& 0, & x\not\in\bar{Q}
\end{matrix}
\right.
$$
and \(D(x)=sgn\ (R(x))\)

Example 6 Riemann函数

\[ R(x)=\left\{ \begin{matrix} & \frac{1}{q}, & x= \frac{p}{q},(p,q)=1,q>0 \\ & 0, & x\not\in Q \end{matrix} \right. \]

平面曲线

确定一条平面曲线的方法有很多，

  • 隐函数方程
  • 参数方程
  • 极坐标方程

为了对接下来章节运用的放缩技巧有一些基本的认识，我们最好在预备知识里增加一些基本的不等式内容（均值不等式和柯西不等式），包括如何进行逻辑上的否定（对偶法则）.
接下来的这一部分来自于《谢惠民数学分析习题课讲义》

简单不等式

Bernoulli Inequality

Bernoulli Inequality(基础版本)

设\(h>-1,n\in N_{+}\),则成立不等式\((1+h)^{n}\ge 1+nh\),\(n>1\)时的取等条件是\(h=0\).

Proof

\(n=1\)和\(h=0\)时不等式显然成立
讨论\(n>1,h\neq 0\)的情况：

\[ (1+h)^{n}-1=h\left[ 1+(1+h)+\dots+(1+h)^{n-1} \right] >nh \]

Generalization

  1. \(-2\le h\le -1\)时，不等式仍然成立
  2. \(h\ge 0\)时，有新的不等式\((1+h)^n\ge \frac{n(n-1)}{2}h^{2}\)
  3. \(\alpha>-1(i=1,2\dots n)\)且同号，成立\(\prod_{i=1}^{n}(1+\alpha_{i})\ge 1+\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i}\)

基本不等式

AN-GN Inequality

设\(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\)是\(n\)个非负实数，则成立\(\frac{a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}}{n}\ge\sqrt[n]{ \prod_{i=1}^{n}a_{i} }\)
等号成立的充分必要条件是\(a_{1}=a_{2}=\dots=a_{n}\)

Proof is easy

Cauchy Inequality

Cauchy Inequality

实数 \(a_{1},a_{2},\dots,a_{n};b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\)有：\(\left\lvert \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} \right\rvert \le\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2} }\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{2} }\)，取等条件是互相成比例

Proof is easy

Inequalities about \(n!\)

Inequalities about \(n!\)

  • \(n!<\left( \frac{n+1}{2} \right)^{n}\)
  • \(n!<\left( \frac{n+2}{\sqrt{ 6 }} \right)^{n}\)

评论